スラッグを取得したいというフォーラムのここを参考にして

https://ja.wordpress.org/support/topic/categoryphp%E3%81%A7%E7%8F%BE%E5%9C%A8%E3%81%AE%E3%82%AB%E3%83%86%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%82%B9%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%B0%E3%82%92%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E3%81%97%E3%81%9F%E3%81%84/

カテゴリー表示の場合は、グローバル変数$catに表示しているカテゴリーのIDが入っているのでしたのコードで情報を取得できます。

<?php $cat_info = get_category( $cat ); ?>
<?php echo wp_specialchars( $cat_info->slug ); ?>

この記事を書いてから wp_specialchars は非推奨※と知ったので別の書き方を…
※ https://developer.wordpress.org/reference/functions/wp_specialchars/

<?php $cat_info = get_category( $cat ); ?> 
<?php echo esc_html( $cat_info->slug); ?>

$cat_info->slugのslugをterm_idにするとIDが、nameにするとカテゴリーの名前が取得できます。

[term_id] => 85
[name] => Category Name
[slug] => category-name
[term_group] => 0
[term_taxonomy_id] => 85
[taxonomy] => category
[description] =>
[parent] => 70
[count] => 0
[cat_ID] => 85
[category_count] => 0
[category_description] =>
[cat_name] => Category Name
[category_nicename] => category-name
[category_parent] => 70