テンプレートタグの get_the_category() を使ってカテゴリー名を取得させる方法。

<?php 
     $cat = get_the_category(); 
     $cat_name = $cat[0]; { echo $cat->cat_name; 
?>

カテゴリー名をカテゴリーアーカイブにリンクさせるには

<?php 
$cat= get_the_category(); 
if ( $cat[0] ) {
echo '<a href="' . get_category_link( $cat[0]->term_id ) . '">' . $cat[0]->cat_name . '</a>';
}
?>

戻り値もついでに…

stdClass Object
(
    [term_id] =>
    [name] =>
    [slug] =>
    [term_group] => 
    [term_order] => 
    [term_taxonomy_id] =>
    [taxonomy] =>
    [description] => 
    [parent] =>
    [count] =>
    [object_id] =>
)

参考サイト：https://wpdocs.osdn.jp/%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%83%AA%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B9/get_the_terms